讨教大学|一文搞懂“正态分布”所有重要知识点

今天，我尝试带着大家搞懂对于正态分布你需要知道的所有知识点。

正态分布，又称高斯分布（Gaussian distribution），是概率论和统计学中最重要的概率分布之一。它以其独特的钟形曲线图形而著称，具有许多重要特性。

对照上图直观地看一下，图中黄色曲线为A，蓝色曲线为B，紫红色曲线为C。如图，我们可以看到均数的大小决定了曲线的位置，标准差的大小决定了曲线的胖瘦。A和B的均值一样，但标准差不同，所以形状不同，根据我们的描述，图形越瘦高，标准差越小，图形越扁平，标准差越大。确实如此，图中B的标准差是1/2，小于A的标准差1。

如果数学基础，有一定的统计学基础的，可以看看下面这张图片关于这2个数值的数学公式；

1、描述和总结数据：

计算数据集的均值和标准差，以描述数据的中心位置和分散程度。这对于初步了解数据的分布情况至关重要。

2、检验数据分布是否近似正态分布：

通过绘制直方图、概率密度函数图或 Q-Q 图，以直观方式观察数据分布是否近似正态分布。

3、参数估计和推断：

如果数据分布近似正态分布，可以通过样本数据估计正态分布的参数（如均值和标准差），从而对总体参数进行推断。

4、概率计算：

利用标准化将数据转换为标准正态分布，然后使用标准正态分布表或计算工具，查找概率、计算置信区间等。这对于计算特定概率或进行置信区间估计非常有用。

5、假设检验：

根据正态分布的性质，可以进行假设检验，以验证关于总体参数的假设，比如均值是否等于某个特定值。

6、模拟和预测：

基于历史数据的正态分布特征，可以进行模拟和预测未来事件的概率分布，用于决策制定和风险管理。

最后通过一个实例来讲解标准化和查表求概率：

所谓标准化，就是将一组实际正态分布的数据转为标准正态分布，方便我们使用标准正态分布表或计算工具，来查找概率、计算置信区间等。

怎么标准化呢？参考下图：

通过标准化，所有服从一般正态分布的随机变量都变成了服从均数为0，标准差为1的标准正态分布。对于服从标准正态分布的随机变量，专门用z表示。因此，求P（30 < X < 45），就转换成了求P（-0.77 < Z < 0.54），标准化的具体计算为：

标准化后，我们就可以通过利用标准正态分布表，找到对应的概率值。这就是所谓的查表求概率；